30. August 2008 / , , , , / Henry / 0c

Mathematik – 0,999… = 1

Ein weiteres mathematisches Problem, das allerdings kein wirkliches Problem in der heutigen Mathematik darstellt, ist die Überprüfung, warum 0,999… scheinbar 1 ist.

x = 0.9999… ; 10x = 10 x 0.9999… ; 10x = 9.9999… ; 10x – x
= 9.9999… – 0.9999… ; 9x = 9 ; x = 1 ; .

Es ist meiner Meinung nach aber eher ein Glaubensexperiment, als eine wirkliche Überprüfung. Wie im oben angesprochenen Artikel haben periodische Zahlen die Eigenschaft im Dezimalsystem nicht vollständig dargestellt zu werden, da die Ziffernzahl unendlich ist. Deshalb werden sie meist abgekürzt.

Nun ist aber das Problem, dass wir uns Unendlichkeit nur abstrakt vorstellen können. So ist es zum Beispiel so, dass wir 3/3 als 1/1 und damit als 1 bezeichnen. Im Gegensatz dazu steht 1/3, dass als 0,333… dargestellt werden müsste. Wenn wir 0,333… * 3 rechnen, dann entsteht 0,999…

Ich persönlich würde mich dagegen entscheiden, 0,999… = 1 als gültig zu betrachten, da es einfach andere Zahlen sind und die oben erstellte Rechnung nicht stimmt. Wir machen den Fehler x als Variable in der Rechnung zu bezeichnen, ohne dass sie wirklich verändert wird. Dazu müssen wir uns verdeutlichen, dass bei 10x = 9,999… die letzte Ziffer nach der Unendlichkeit eine 0 sein muss und sich damit von x und 0,999… unterscheidet:

x = 0,99
10x = 9,90

Wenn wir jetzt die zweite Stelle nach dem Komma untersuchen, dann sehen wir, dass die Ziffern sich unterscheiden und damit die Zahlen verschieden voneinander sind.

9 != 0

Wenn wir also annehmen, dass 1/3 = 0,333… ist, dann müssen wir in unserem Kopf auch annehmen, dass die Unendlichkeit irgendwann unterbrochen werden muss, auch wenn das theoretisch unmöglich ist und im mathematischen System nicht nachgewiesen werden kann.

Würden wir jetzt 10x – x mit Zahlen durchführen, dann machen wir den Fehler im Kopf nicht mit unterschiedlich langen Unendlichkeiten zu rechnen. In Wirklichkeit ist 9x also nicht 9, sondern 8,999…1.

Was man nun glaubt, ist einem selbst überlassen, da man sich Unendlichkeit nur abstrakt vorstellen kann.

(via)